Inversio-ongelmat – Matematiikkaa Ja Sen Sovelluksia

Inversio-ongelmien teoria on matematiikan ja sen sovellusten kirjossa edelleen varsin nuori tutkimusala. Yksittäisiä ongelmia on toki tutkittu kauan, ja ensimmäinen yhtenäinen osakokonaisuus lienee 1950-luvulla kehitetty Gel’fandin koulukunnan yksiulotteinen käänteinen sirontateoria. Muutaman vuosikymmenen hiljaiselon jälkeen myös moniulotteisissa inversio-ongelmissa saavutettiin läpimurtoja, ja 1980-luvulla alan teoria monipuolistui ja alkoi kasvaa nopeasti. Suomessa inversioteorian tutkimus alkoi 1980-luvun alussa Helsingin yliopiston funktionaalianalyysin tutkijoiden piirissä. Suomen Inversioseura perustettiin 1997. Itse kuulin inversio-ongelmista vuonna 2000 Oulun yliopistossa opiskellessani, ja silloin Suomessa oli jo laaja alan tutkimusyhteisö. Kiinnostus inversio-ongelmia kohtaan on viime vuosina yhä lisääntynyt sekä Suomessa että maailmalla. Väitettä voi perustella sillä, että inversioongelmien artikkeleita julkaistaan yhä useammin matematiikan arvostetuimmissa julkaisuissa (kuten Annals of Mathematics), tai sillä, että Suomen Akatemia myönsi alan Suomen tutkimusryhmille huippuyksikön aseman vuodesta 2006 alkaen. Lisäksi termi ’inversio-ongelmat’ esiintyy uusissa yhteyksissä: olin yllättynyt, kun matematiikan Fields-mitalisti Timothy Gowers keväällä 2006 Seattlessa pitämässään esitelmässä alkoi puhua aritmeettisen kombinatoriikan inversio-ongelmista. Tämä artikkeli on osa sarjaa, jossa nuoret matemaatikot esittelevät omaa työtään ja tutkimusalojaan. Olen siksi valinnut paikoin tavallista henkilökohtaisemman kirjoitustyylin. Oma tutkimukseni on enimmäkseen keskittynyt inversio-ongelmiin, ja väitöskirjani Calderónin ongelmasta ja siihen liittyvistä kysymyksistä valmistui vuonna 2004. Käsittelen alla ensin muutamia inversio-ongelmia yleisesti, ja sitten Calderónin ongelmaa ja omaa työtäni hieman yksityiskohtaisemmin. Lopussa oleva liite sisältää lyhyen johdatuksen osittaisdifferentiaaliyhtälöihin ja muutamiin hyödyllisiin työkaluihin, mutta artikkelia voinee lukea myös ilman näitä tietoja. Inversio-ongelmien alalla eletään juuri nyt kiinnostavaa vaihetta. Toivon, että artikkelin lukijoille välittyy kuva tutkimusalasta, jossa moderni matematiikka ja reaalimaailman sovellukset kohtaavat hedelmällisellä tavalla.